Il matematico ha finalmente risolto il “problema del sottospazio invariante”, che ha più di mezzo secolo?

Il matematico ha finalmente risolto il “problema del sottospazio invariante”, che ha più di mezzo secolo?

L’autore, Per Henrik Enflo, un matematico e musicista svedese, non è il suo primo tentativo di risolvere i leggendari problemi di matematica. Già nel 1972 risolse un difficile problema posto dal suo omologo polacco Stanislav Mazur. Prometti debito gratuito! A causa dei suoi guai, gli fu data un’oca (diretta) che Mazur aveva promesso, a chiunque potesse farcela. Oggi si ritiene che sia stato ritrovato scorso Un pezzo del puzzle del “problema subspaziale risolto”, su cui ha lavorato per molto tempo.

Foto del matematico polacco Stanislav Mazur (a sinistra) che consegna un’oca viva a BearInflow, come promesso, nel 1972. Wikimedia

Cos’è il sottospazio fisso?

In un post di ConversazioneE Comprende gli elementi dell’algebra lineare: vettori, matrici e autovettori, spiega Nathan Brownlow, docente senior presso la School of Mathematics and Statistics dell’Università di Sydney.

tipo di vettori Una freccia di lunghezza e direzione in un dato spazio vettoriale Spiega. Una matrice può trasformare un vettore, cambiando la sua direzione della linea e la sua lunghezza. Tuttavia, può agire solo lungo il vettore. In questo caso, la direzione è la stessa o invertita nella direzione opposta. Quindi chiamiamo il vettore un autovettore di una matrice Quando una matrice trasforma i suoi autovettori (e tutte le rette ad essa parallele) su se stessa: Queste rette diventano invarianti Queste righe insieme diventano sottoaree invarianti della matrice.

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Risolto il problema del sottospazio: un problema (solo) parzialmente irrisolto

Un sottospazio fisso è uno spazio con un numero infinito di dimensioni. Il problema del sottospazio costante cerca di determinare se, in questi spazi, ogni operatore lineare (equivalente a una matrice) debba avere un sottospazio costante.

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In termini più matematici, il problema chiede se qualsiasi operatore lineare finito T sullo spazio complesso di Banach X consente un sottospazio costante non banale M di X, cioè un sottospazio M ≠ {0}, X di X tale che T viene restituito ( M) di nuovo in M.

Le distanze di Banach, in matematica, ma più specificamente nell’analisi funzionale, sono distanze vettoriali modulari (su un sottocampo K di ℂ (generalmente, K = ℝ o ℂ), complemento della distanza generata dal suo modulo). Questo è per un tipo specifico di spazio di Banach chiamato Spazio di Hilbertquesto dubbio rimane, in termini di riflessività.

Il problema invariante del sottospazio è stato formulato in questo modo, ed è sfuggito a qualsiasi tentativo di soluzione dalla metà del secolo scorso. Tuttavia, in realtà, è solo parzialmente risolto. I matematici l’hanno scomposto in pezzi più piccoli nella speranza di arrivarci più gradualmente. Fu Enflo a fare uno degli sviluppi più importanti degli anni ’70, anche se fu pubblicato solo nel 1987.

A quel tempo, ha risposto al problema in senso negativo. Per fare ciò, costruisce un fattoriale sul sottospazio non costante spazio libero di Banach. Il problema esiste ancora per quanto riguarda gli spazi di Hilbert separabili. Dire che questo era il lavoro della sua vita non sarebbe un’esagerazione.

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La soluzione di Per H. Enflo è ancora allo studio dei colleghi

Trentasei anni dopo aver pubblicato il suo articolo in negativo, Enflo sta cambiando idea sui tergicristalli riflettenti. Spostandosi nel campo positivo, secondo lui, qualsiasi operatore lineare legato a uno spazio di Hilbert avrà già un sottospazio costante.

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Tuttavia, la prudenza è ancora d’obbligo. Il documento di Enflo non è stato ancora sottoposto a revisione paritaria. Se la sua soluzione sarà confermata, sarà una vera rivoluzione.

fonti:

Un matematico ha risolto il “problema del sottospazio invariante”? E cosa significa? Nathan Brownlow, Conversazione

Corretti i sottospazi negli spazi di BanachBernardo Bozzami

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